運動方程式から運動量・運動エネルギー・角運動量についての式を導く

物体の加速度は，物体の位置を 2 回時間微分したものである．したがって，運動方程式 m\bm{a} = \bm{F} から得られる加速度を，時間で 2 回積分することで， t 秒後の物体の位置を予言することができる．しかし，物体が曲面上を動く場合など，物体に働く力が複雑になってくると，加速度を時間で 2 回積分することは困難になる．そこで，運動方程式の両辺を時間で 1 回積分することで得られる情報がないかを考える．

運動量について

運動方程式は

m\bm{a} = m\dfrac{d\bm{v}}{dt} = \dfrac{d}{dt}(m\bm{v}) = \bm{F}

と書ける．

\dfrac{d}{dt}(m\bm{v}) = \bm{F} の両辺を t_1 ～ t_2 で積分して，

m\bm{v}(t_2) - m\bm{v}(t_1) = \int_{t_1}^{t_2} \bm{F}dt

を得る．

m\bm{v} を運動量， \displaystyle \int_{t_1}^{t_2} \bm{F}dt を力積といい，運動量の変化は t_1 ～ t_2 において \bm{F} の与えた力積に等しいという関係が成り立つ．

このように，運動量と力積の関係は，運動方程式の両辺をそのまま時間で 1 回積分することで得られる．

運動エネルギーについて

運動方程式の両辺と速度ベクトル \bm{v} との内積をとると， |\bm{v}| = v として

m\bm{a} \cdot \bm{v} = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{1}{2}mv^2 \right) = \bm{F} \cdot \bm{v}

となる．

\dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{1}{2}mv^2 \right) = \bm{F} \cdot \bm{v} の両辺を t_1 ～ t_2 で積分して，

\dfrac{1}{2}mv(t_2)^2 - \dfrac{1}{2}mv(t_1)^2 = \int_{t_1}^{t_2} \bm{F} \cdot \bm{v} dt = \int_C \bm{F} \cdot d\bm{r}

を得る．

\dfrac{1}{2}mv^2 を運動エネルギー， \displaystyle \int_C \bm{F} \cdot d\bm{r} を仕事といい，運動エネルギーの変化は t_1 ～ t_2 において \bm{F} のした仕事に等しいという関係が成り立つ．

このように，運動エネルギーと仕事の関係は，運動方程式の両辺と速度ベクトルとの内積をとって，時間で 1 回積分することで得られる．

角運動量について

運動方程式の両辺と位置ベクトル \bm{r} との外積をとると，

\bm{r} \times m\bm{a} = \dfrac{d}{dt} (\bm{r} \times m\bm{v}) = \bm{r} \times \bm{F}

となる．

\bm{r} \times m\bm{v} を角運動量， \bm{r} \times \bm{F} を力のモーメントといい，角運動量の時間変化率は力のモーメントに等しいという関係が成り立つ．

また，高校では角運動量と力のモーメントの関係が面積速度保存則として現れることが多い．力のモーメントが \bm{0} であるとき，先ほどの式から \dfrac{d}{dt} (\bm{r} \times m\bm{v}) = \bm{0} が成り立つ．これを辺々 2m で割り時間で積分すると， \dfrac{1}{2} \bm{r} \times \bm{v} = \rm{const.} が得られる． \bm{r} と \bm{v} のなす角を \theta とおけば， |\bm{r}| = r, |\bm{v}| = v として

\dfrac{1}{2}rv \sin \theta = \rm{const.}

が得られる．これを面積速度保存則という．

このように，角運動量と力のモーメントの関係や，面積速度保存則などは，運動方程式の両辺と位置ベクトルとの外積をとって，時間で 1 回積分することで得られる．

まとめ

\dfrac{d}{dt}(m\bm{v}) = \bm{F}

\dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{1}{2}mv^2 \right) = \bm{F} \cdot \bm{v}

\dfrac{d}{dt}(\bm{r} \times m\bm{v}) = \bm{r} \times \bm{F}