高校物理に現れる微分方程式

物体の位置を時刻の関数として表すことができる場合は限られている．だから多くの場合は運動量や運動エネルギー，面積速度といった保存量を考えることになる訳だが，物体に働く力がシンプルな場合など，いくつかの場合は物体の位置を時刻の関数として表すことが可能である．本記事では，物体の位置を時刻の関数として表すことが可能な場合を紹介する．

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等加速度型
単振動型
指数関数型
まとめ

等加速度型

問題

小球が $x$ 軸正方向に向かって一定の加速度 $a$ で運動する．初速 $v_0$ ，初期位置 $x_0$ であるとき， $t$ 秒後の小球の位置を求めよ．

$t$ 秒後の速度は，初速に速度の時間変化（＝加速度）を時刻 $0$ ～ $t$ まで足し合わせたものであるから，

\begin{aligned} v &= v_0 + \int_0^t a dt \\ &= v_0 + at \\ \end{aligned}

となる． $t$ 秒後の位置は，初期位置に位置の時間変化（＝速度）を時刻 $0$ ～ $t$ まで足し合わせたものであるから，

\begin{aligned} x &= x_0 + \int_0^t v dt \\ &= x_0 + \int_0^t (v_0 + at) dt \\ &= x_0 + v_0t + \dfrac{1}{2} at^2 \\ \end{aligned}

となる（ $v$ が $t$ の関数であることに注意）．これが求める答えである．

加速度をそのまま $2$ 回時間で積分することで $t$ 秒後の物体の位置を求めることができた．

単振動型

問題

鉛直下向きを正方向とする $x$ 軸をとる．質量 $m$ の小球が天井からばねでつるされていて， $x$ 軸正方向に重力 $mg$ ，位置に比例する弾性力 $-kx (k > 0)$ を受けながら運動する（ただし，ばねが自然長のときの小球の位置を原点とする）．初速 $0$ ，初期位置 $0$ であるとき， $t$ 秒後の小球の位置を求めよ．

運動方程式は

ma = mg - kx

となり，これより加速度

a = -\dfrac{k}{m} \left( x - \dfrac{mg}{k} \right)

を得る．これは， $x$ と $x$ の $2$ 回時間微分 $a$ とが入り交じった微分方程式である．加速度は $a = \dfrac{d^2x}{dt^2} = \dfrac{d^2}{dt^2} \left( x \displaystyle- \dfrac{mg}{k} \right)$ とも表せるから，

\dfrac{d^2}{dt^2} \left( x - \dfrac{mg}{k} \right) = -\dfrac{k}{m} \left( x - \dfrac{mg}{k} \right)

と変形できる．この式を眺めると， $x \displaystyle- \dfrac{mg}{k}$ を $2$ 回時間微分したものが， $x \displaystyle- \dfrac{mg}{k}$ の負の定数倍になっていることに気づく．このような性質を満たす関数としては $\sin$ や $\cos$ が挙げられる．たとえば $\cos$ の場合，上式を満たすように係数を調整すると，定数 $A$ を用いて

x - \dfrac{mg}{k} = A \cos \sqrt{\dfrac{k}{m}} t

となる．ここで， $t = 0$ で $x = 0$ となるので $A = -\dfrac{mg}{k}$ となり，

x = \dfrac{mg}{k} \left( 1 - \cos \sqrt{\dfrac{k}{m}} t \right)

となる．これを時間で微分して得られる $v = \dfrac{mg}{k} \sqrt{\dfrac{k}{m}} \sin \sqrt{\dfrac{k}{m}} t$ は， $t = 0$ で $v = 0$ となり条件に合う．これが求める答えである．

微分方程式から関数の形を推測することで， $t$ 秒後の物体の位置を求めることができた．

単振動型の微分方程式が現れる例としては

ばねにつながれた小球の運動
RLC 回路の共振

などが挙げられる．

指数関数型

問題

鉛直下向きを正方向とする $x$ 軸をとる．質量 $m$ の小球が $x$ 軸正方向に重力 $mg$ ，速度に比例する空気抵抗 $-kv (k > 0)$ を受けながら落下する．初速 $0$ であるとき， $t$ 秒後の小球の速度を求めよ．

運動方程式は

ma = mg - kv

となり，これより加速度

a = -\dfrac{k}{m} \left( v - \dfrac{mg}{k} \right)

を得る．これは， $v$ と $v$ の $1$ 回時間微分 $a$ とが入り交じった微分方程式である．加速度は $a = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d}{dt} \left( v \displaystyle- \dfrac{mg}{k} \right)$ とも表せるから，

\dfrac{d}{dt} \left( v - \dfrac{mg}{k} \right) = -\dfrac{k}{m} \left( v - \dfrac{mg}{k} \right)

と変形できる．この式を眺めると， $v \displaystyle- \dfrac{mg}{k}$ の時間微分が， $v \displaystyle- \dfrac{mg}{k}$ の定数倍になっていることに気づく．このような性質を満たす関数としては指数関数が挙げられる．上式に合うように係数を調整すると，定数 $A$ を用いて