相対運動エネルギーの使い方

重心運動エネルギー・相対運動エネルギーとは

2 体系の運動エネルギーを，重心速度と相対速度を用いて表すことを考える．

重心速度 v_G = \dfrac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2} と相対速度 v_R = v_1 \displaystyle- v_2 を用いて，

\begin{aligned}
    v_1 &= v_G + \dfrac{m_2}{m_1 + m_2} v_R \\
    v_2 &= v_G -\dfrac{m_1}{m_1 + m_2} v_R \\
\end{aligned}

と表せる．これより 2 体系の運動エネルギーは

\dfrac{1}{2}m_1v_1^2 + \dfrac{1}{2}m_2v_2^2 = \dfrac{1}{2}(m_1 + m_2)v_G^2 + \dfrac{1}{2} \dfrac{m_1m_2}{m_1 + m_2}v_R^2

となる．（実際に値を代入して確かめよ．）

\dfrac{1}{2}(m_1 + m_2)v_G^2 を重心運動エネルギー， \dfrac{1}{2} \dfrac{m_1m_2}{m_1 + m_2}v_R^2 を相対運動エネルギーという．

相対運動エネルギーの使い方

重心速度が保存するとき，重心運動エネルギーも保存し， 2 体系の運動エネルギーの変化は

\begin{aligned}
    \Delta \left( \dfrac{1}{2}m_1v_1^2 + \dfrac{1}{2}m_2v_2^2 \right)
    &= \Delta \left( \dfrac{1}{2}(m_1 + m_2)v_G^2 + \dfrac{1}{2} \dfrac{m_1m_2}{m_1 + m_2}v_R^2 \right) \\
    &= \Delta \left( \dfrac{1}{2} \dfrac{m_1m_2}{m_1 + m_2}v_R^2 \right) \\
\end{aligned}

となる．つまり，重心速度が保存するとき， 2 体系の運動エネルギー変化は相対運動エネルギー変化に等しい．このことを利用すると，たとえば以下の問題が簡単に解けるようになる．

弾丸がブロックをめり込んだ距離

弾丸とブロックの 2 体系に対し外力は仕事をしないので， 2 体系の運動エネルギー変化は内力（＝抵抗力）のした仕事に等しくなる．よって，求める距離を d とすると，

\dfrac{1}{2} \dfrac{mM}{m + M} (0^2 - v_0^2) = -fd

となり，求める値は

d = \dfrac{1}{2} \dfrac{mM}{m + M} \dfrac{v_0^2}{f}

となる．このように，相対運動エネルギーを利用することで答えをダイレクトに求めることができる．

\begin{cases}
    mv_0 = (m + M) v_1 \\
    \dfrac{1}{2}(m + M)v_1^2 - \dfrac{1}{2}mv_0^2 = -fd \\
\end{cases}

ばねでつながれた 2 物体の最大の縮み

小球 2 つとばねからなる系に対し外力は仕事をしないので， 2 体系の運動エネルギー変化は内力（＝ばねの弾性力）のした仕事に等しくなる．よって，求める縮みを d とすると，

\dfrac{1}{2} \dfrac{mM}{m + M} (0^2 - v_0^2) = -\dfrac{1}{2}kd^2

となる（ばねが最も縮むとき 2 つの小球の速度は等しい）．これより求める値は，

d = v_0 \sqrt{\dfrac{mM}{m + M} \dfrac{1}{k}}

である．このように，相対運動エネルギーを利用することで答えをダイレクトに求めることができる．

\begin{cases}
    mv_0 = (m + M) v_1 \\
    \dfrac{1}{2}mv_0^2 = \dfrac{1}{2}(m + M)v_1^2 + \dfrac{1}{2}kd^2 \\
\end{cases}

まとめ

\dfrac{1}{2}m_1v_1^2 + \dfrac{1}{2}m_2v_2^2 = \dfrac{1}{2}(m_1 + m_2)v_G^2 + \dfrac{1}{2} \dfrac{m_1m_2}{m_1 + m_2}v_R^2